解析函数、Cauchy-Riemann 条件与 Laplace 方程

解析函数和柯西-黎曼条件

若有一个复变函数 $f(z)$ ，它是单值的，且在域 $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{C}$ 中的每一点 $z \in \mathcal{D}$ 都有有限的导数 $f'(z)$，则 $f(z)$ 在域 $\mathcal{D} \subseteq \mathbb{C}$ 中是 解析 Analytic 的

• 一个函数如果在某个区域内是解析的，那么他在该区域内不仅是可微的，而且具有无穷多次可微性
• 单值 表示函数 $f(z)$ 在每个点 $z$ 只对应一个唯一的函数值
• 有限导数 函数在某点的导数值不是无穷大，换句话说，导数在该点存在且是一个实数或复数

复变函数的导数

要想研究复变函数的解析性，我们首先需要研究复变函数的导数，它的定义是

$$\frac{df}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$

函数在某点的导数存在，只有当从所有方向趋向于该点（所有方向导数）的导数均相等时，函数在该点的导数才存在，否则只能计算不同方向趋向该点的方向导数
例如函数

$$f(z) = \overline{z} = x - iy$$

代入 $f(z + \Delta z)$ 和 $f(z)$

$$\begin{align*} f(z) &= \overline{z} \\ f(z + \Delta z) &= \overline{z + \Delta z} = \overline{z} + \overline{\Delta z} \\ f(z + \Delta z) - f(z) &= \overline{\Delta z} \\ \end{align*}$$

代入导数定义

$$\frac{df}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$

因为

$$\begin{aligned} \Delta z &= \Delta x + i \Delta y \\ \overline{\Delta z} &= \Delta x - i \Delta y \end{aligned}$$

所以

$$\frac{df}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta x - i \Delta y}{\Delta x + i \Delta y}$$

这个极限的结果依赖于 $\Delta z$ 趋近 $0$ 的路径

• 沿实轴趋近，即 $\Delta y = 0$ :
  $\frac{\Delta x - i \cdot 0}{\Delta x + i \cdot 0} = 1$
• 沿虚轴趋近，即 $\Delta x = 0$ : $\frac{0 - i \Delta y}{0 + i \Delta y} = -1$

由于导数的值依赖于趋近路径，而不是一个唯一的值，说明函数 $f(z) = \overline{z}$ 在该点的导数不存在。因为解析函数的导数必须在其定义域的每一点存在且唯一，所以 $f(z) = \overline{z}$ 不是解析函数

柯西-黎曼条件 Cauchy-Riemann Conditions

柯西-黎曼条件是说，如果复变函数是解析的，那么它在实轴方向和虚轴方向的导数必须相同，也就是说只要保证这两个方向的导数相同，其它任意方向导数也必然相等
复变函数的实部和虚部本身可以写成函数

$$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$$

我们知道复函数的导数定义如下：

$$\frac{df}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$

定义增量 $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$，于是有

$$f(z + \Delta z) = u(x + \Delta x, y + \Delta y) + i v(x + \Delta x, y + \Delta y)$$

因此

$$\begin{align*} f(z + \Delta z) - f(z) &= [u(x + \Delta x, y + \Delta y) - u(x, y)] + i [v(x + \Delta x, y + \Delta y) - v(x, y)] \\ \Delta u &= u(x + \Delta x, y + \Delta y) - u(x, y) \\ \Delta v &= v(x + \Delta x, y + \Delta y) - v(x, y) \\ \Delta f &= \Delta u + i \Delta v \\ \frac{df}{dz} &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} \\ &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta z} = \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta u + i \Delta v}{\Delta x + i \Delta y} \end{align*}$$

• 从实轴趋近，即 $\Delta y = 0$ ：

$$\frac{df}{dz} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u + i \Delta v}{\Delta x + i0} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

• 从虚轴趋近，即 $\Delta x = 0$ ：

$$\begin{align*} \frac{df}{dz} &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta u + i \Delta v}{0 + iy} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{i(\Delta u + i \Delta v)}{i \cdot iy} \\ &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{i\Delta u - \Delta v}{-y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta v - i\Delta u}{y} \\ &= \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \end{align*}$$

从两个方向趋向的结果必须相等，也就是说实部和虚部必须相等

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \phantom{-}\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{\partial u}{\partial y} \end{align*}$$

这就是 柯西-黎曼条件，这些条件是复函数在某点解析的必要条件。通过满足这些条件，我们可以判断一个复函数是否在该点解析
我们来看一个例子，$f(z) = z^2$ 是一个解析函数，所以它应该满足柯西-黎曼条件

$$f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = \underbrace{\left(x^2 - y^2 \right) }_u + i\underbrace{\left(2xy \right) }_v$$

• 实轴 $\frac{df}{dz} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i2y = 2z$
• 虚轴 $\frac{df}{dz} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} = 2x + i2y = 2z$

它们相等，所以它确实满足柯西-黎曼条件

极坐标下的 柯西-黎曼条件

若我们有极坐标下的复数

$$z = Re^{i\theta}$$

则极坐标下的复变函数是

$$f(z) = u(R,\theta) + iv(R,\theta)$$

极坐标下的柯西-黎曼条件是

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial R} &= \phantom{-}\frac{1}{R}\frac{\partial v}{\partial \theta} \\ \frac{\partial v}{\partial R} &= -\frac{1}{R}\frac{\partial u}{\partial \theta} \end{align*}$$

---

• 柯西-黎曼条件是复变函数为解析函数的充分必要条件
• 如果函数在某点是解析的，那么它必须在该点的任意阶导数都必须存在
  • 我们可以用泰勒展开从复变函数的某点去趋近远处的另一点，只要趋近的路径上全是解析的

解析函数和拉普拉斯方程

我们有复变函数

$$\begin{align*} z &= x + iy \\ f(z) &= u(x,y) + iv(x,y) \end{align*}$$

有一种方程，称为拉普拉斯方程 Laplace's Equation

$$\nabla^2 f = 0$$

• $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子 $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$ 即梯度场的散度

我们声称，解析函数实部构成的函数和虚部构成的函数均满足拉普拉斯方程，即

$$\begin{aligned} \nabla^2u &= 0 \\ \nabla^2v &= 0 \end{aligned}$$

我们知道若复变函数是解析的，则它满足柯西-黎曼条件

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \phantom{-}\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{\partial u}{\partial y} \end{align*}$$

我们首先分析 $\nabla^2u = 0$
我们首先对 $\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}$ 两边求 $\dfrac{\partial}{\partial x}$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \xRightarrow{\partial / \partial x} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} \quad (1)$$

再对 $\dfrac{\partial v}{\partial x} = -\dfrac{\partial u}{\partial y}$ 两边求 $\dfrac{\partial}{\partial y}$

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \xRightarrow{\partial / \partial y} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} \quad (2)$$

我们可以用 $(2)$ 中的 $-\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ 代替 $(1)$ 中的 $\dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = -\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$

所以我们得到

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \\ \nabla^2u = 0 \end{align*}$$

所以 $u$ 满足拉普拉斯方程，我们将满足拉普拉斯方程的函数叫做 调和函数 Harmonic Function，所以 $u$ 是一个调和函数
可以通过相似的手段证明

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2} &= 0 \\ \nabla^2v &= 0 \end{aligned}$$

所以 $v$ 也是一个调和函数