BLOG

EXPLORATIONS IN SIMULATION, LEARNING, AND SYSTEMS.

Jun 28, 2026MATH

RBF 插值的基本形式

从样本中心、径向核函数和 Gram matrix 出发，推导标量 RBF 插值的线性系统形式。

MathRBFInterpolationKernel Methods

约 8 分钟Read article

Jun 28, 2026MATH

向量值 RBF、核函数与归一化混合

从标量 RBF 推广到向量输出，讨论 matrix-valued kernel、常见核函数和 normalized RBF blend。

MathRBFInterpolationKernel Methods

约 14 分钟Read article

Jun 28, 2026MATH

RBF 中的旋转表示

解释为什么旋转不适合直接作为欧氏向量插值，并整理 rotation vector、log map 与 exp map 在 RBF 中的用法。

MathRBFInterpolationKernel MethodsRotation

约 10 分钟Read article

May 30, 2026MATH

矩阵扰动与 Eigenvalue Interlacing

从逆矩阵扰动恒等式和连续扰动导数出发，理解 rank-one 与 rank-r 正半定更新下的特征值交错。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraMatrix PerturbationEigenvalues

约 34 分钟Read article

May 16, 2026MATH

Woodbury 公式、RLS 与 Kalman Filter

从 rank-one inverse update 推到 Sherman-Morrison 和 Woodbury，并连接递归最小二乘与 Kalman Filter。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraWoodburyKalman Filter

约 32 分钟Read article

May 10, 2026MATH

无偏估计、方差与 Monte Carlo 平均

先把真实目标、随机样本、估计量、无偏性和方差讲清楚，再解释多次抽样平均为什么会降低波动。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraMonte CarloUnbiased Estimation

约 22 分钟Read article

May 10, 2026MATH

随机矩阵乘法：外积抽样与 importance weighting

把矩阵乘法写成外积之和，并用 importance weighting 构造无偏的随机矩阵乘法估计量。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraRandomized AlgorithmsMatrix Multiplication

约 26 分钟Read article

May 7, 2026MATH

QR 算法、Shift、Hessenberg 与 SVD

梳理 QR iteration、shift、deflation、Hessenberg 形式以及 bidiagonal QR 与 SVD 之间的关系。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraQR AlgorithmSVD

约 22 分钟Read article

Apr 27, 2026MATH

Krylov 子空间方法：从多项式逼近到 GMRES

从用多项式逼近逆矩阵开始，推导 Krylov subspace、Arnoldi 过程和子空间最优近似。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraKrylov SubspaceIterative Methods

约 35 分钟Read article

Apr 25, 2026MATH

向量范数、矩阵范数与最小范数几何

整理向量范数、矩阵范数和线性约束下最小范数问题的几何图像，比较 l1、l2 与 l-infinity 范数的不同偏好。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraNormsOptimization

约 18 分钟Read article

Apr 24, 2026MATH

伪逆、最小二乘与最小范数解

把方阵、超定系统和欠定系统放在同一个伪逆框架下，区分最小二乘解与最小范数解。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraPseudoinverseMinimum Norm

约 10 分钟Read article

Apr 24, 2026MATH

Tikhonov 正则化：伪逆的稳定化版本

从普通最小二乘的不稳定方向出发，推导 Tikhonov regularization，并用 SVD 解释它如何压制小奇异值。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraRegularizationSVD

约 18 分钟Read article

Feb 24, 2026MATH

最小二乘：从伪逆到正规方程

从伪逆和四个基本子空间的视角理解最小二乘问题，并推导正规方程。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraLeast SquaresPseudoinverse

约 14 分钟Read article

Nov 4, 2025MATH

Eckart-Young 定理：低秩近似、PCA 与 OLS

从矩阵范数和低秩近似进入 Eckart-Young 定理，并比较 PCA、TLS 与普通最小二乘的几何差异。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraPCALeast Squares

约 9 分钟Read article

Oct 31, 2025MATH

CR 分解：用列空间与行空间理解低秩矩阵

从列空间和行空间的基出发理解 CR decomposition，并把低秩矩阵写成列基与行基的乘积。

MathMatrix MethodsData AnalysisNumerical Linear AlgebraMatrix Factorization

约 5 分钟Read article

Sep 26, 2025SYSTEMS

C++ 多态 Polymorphism

整理 C++ 中静态多态、动态多态、虚函数、类型擦除和原型委托的核心机制。

C++PolymorphismDynamic DispatchType Erasure

约 9 分钟Read article

Jun 25, 2025GRAPHICS

世界空间到局部空间 World to Local Space

整理从节点世界位移和世界旋转缩放矩阵还原局部变换的思路与伪代码。

Computer GraphicsTransformScene GraphLocal Space

约 4 分钟Read article

May 29, 2025GRAPHICS

树遍历 Tree Traversal

整理 transform tree 的深度优先遍历接口和 iterator 实现。

Computer GraphicsTransformScene GraphTree Traversal

约 5 分钟Read article

May 28, 2025GRAPHICS

获取世界变换 World Space Getters

整理 transform hierarchy 中全局旋转、位置、lossy scale 的读取和设置方法。

Computer GraphicsTransformScene GraphWorld Space

约 7 分钟Read article

May 28, 2025GRAPHICS

积累变换 Accumulating Transforms

整理用 position、rotation、scale 分量累积世界变换，并实现 world space getter/setter。

Computer GraphicsTransformScene GraphTRS

约 8 分钟Read article

May 23, 2025GRAPHICS

Transform Hierarchies 变换的层次结构

介绍 local space、world space 以及层级变换累积的基本概念。

Computer GraphicsTransformScene GraphHierarchy

约 3 分钟Read article

May 23, 2025GRAPHICS

累积矩阵 Accumulating Matrices

讨论层级矩阵累积、非均匀缩放导致的 skew，以及矩阵分解修正方案。

Computer GraphicsTransformScene GraphMatrix DecompositionTRS

约 28 分钟Read article

May 22, 2025GRAPHICS

四元数到矩阵 Quaternion to Matrix

整理四元数与旋转矩阵之间的转换，以及矩阵和四元数表示旋转的取舍。

Computer GraphicsQuaternionRotationMatrix

约 10 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

逐分量运算 Component Wise Operations

整理四元数加减、数乘、取反和比较等逐分量操作。

Computer GraphicsQuaternionRotationComponent Wise Operations

约 3 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

模长，归一化，点乘

整理四元数的 dot product、length 和 normalization 公式。

Computer GraphicsQuaternionRotationNormalization

约 2 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

四元数逆 Quaternion Inverse

整理四元数共轭、单位四元数逆和一般四元数逆的关系。

Computer GraphicsQuaternionRotationInverse

约 2 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

四元数乘法 Multiplying Quaternions

整理四元数乘法代码实现、组合顺序以及左右乘旋转约定。

Computer GraphicsQuaternionRotationMultiplication

约 2 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

使用四元数旋转向量 Rotating vectors using quaternions

整理使用四元数旋转向量的直接公式和对应实现。

Computer GraphicsQuaternionRotationVector Rotation

约 2 分钟Read article

May 20, 2025GRAPHICS

四元数插值 Interpolating Quaternions

整理 Nlerp、Slerp、四元数指数形式和双覆盖问题。

Computer GraphicsQuaternionRotationInterpolationSlerp

约 13 分钟Read article

May 15, 2025GRAPHICS

Quaternions and Rotation 四元数和旋转

从二维复数旋转推导到三维 Rodrigues 旋转公式，并解释四元数旋转的完整形式。

Computer GraphicsQuaternionRotationRodrigues Formula

约 23 分钟Read article

May 12, 2025GRAPHICS

Math of Quaternion

整理四元数的定义、Hamilton 乘法规则、矩阵形式以及点乘和叉乘关系。

Computer GraphicsQuaternionRotationHamilton Product

约 13 分钟Read article

May 11, 2025GRAPHICS

An introduction to Quaternions Application 四元数应用简介

介绍四元数在旋转表示中的基本定义、identity quaternion 和 pure quaternion。

Computer GraphicsQuaternionRotationApplication

约 3 分钟Read article

May 11, 2025GRAPHICS

Creating Quaternions 创建四元数

整理从角轴、from-to shortest arc、Look At 以及旋转矩阵创建四元数的方法。

Computer GraphicsQuaternionRotationLook At

约 12 分钟Read article

Feb 12, 2025SYSTEMS

C++ Template: 值类别 Value Categories

整理 C++ 左值、右值、glvalue、prvalue、xvalue、临时对象具现化和 decltype 值类别判断。

C++TemplatesValue CategoriesMove Semantics

约 7 分钟Read article

Feb 10, 2025SYSTEMS

C++ Template: 移动语义 Move Semantics and enable_if<>

整理模板中的完美转发、特殊成员函数模板、std::enable_if 和 Concepts 的基本取舍。

C++TemplatesMove SemanticsSFINAEConcepts

约 8 分钟Read article

Feb 7, 2025SYSTEMS

C++ Template: 一些模板相关的棘手内容

整理 C++ 模板中的 typename、初始化、this 指针、成员模板、template 关键字、变量模板和模板模板参数。

C++TemplatesTwo-phase LookupMember Templates

约 18 分钟Read article

Jan 30, 2025ECS

EnTT: 资源管理 resource management

整理 EnTT resource、resource handle、loader、resource cache 和不同类型资源的管理方式。

ECSC++EnTTResource Management

约 2 分钟Read article

Jan 29, 2025ECS

EnTT: 跨越边界 across boundaries

整理 EnTT 跨动态库边界使用时的类型识别、meta 上下文共享和内存管理问题。

ECSC++EnTTPlugin

约 3 分钟Read article

Jan 28, 2025SYSTEMS

C++ Template: 可变参数模板 Variadic Templates

整理可变参数模板、参数包展开、折叠表达式和变长基类的常见写法。

C++TemplatesVariadic TemplatesFold Expressions

约 7 分钟Read article

Jan 23, 2025ECS

EnTT: 核心功能 Core functionalities

整理 EnTT 核心工具，包括 any、位操作、压缩对、哈希字符串、迭代器、monostate、类型支持和实用工具。

ECSC++EnTTCore

约 10 分钟Read article

Jan 21, 2025ECS

EnTT: 运行时反射系统 Runtime reflection system

整理 EnTT meta 运行时反射系统中的标识符、meta_any、容器、指针类型、自动转换、策略和上下文。

ECSC++EnTTReflection

约 10 分钟Read article

Jan 20, 2025ECS

EnTT: 容器 Container

整理 EnTT dense map 和 dense set 的桶、迭代器返回类型和基本行为。

ECSC++EnTTContainers

约 1 分钟Read article

Jan 20, 2025ECS

EnTT: 静态多态 Static Polymorphism

整理 EnTT poly 静态多态系统中的概念定义、接口推导、显式接口、概念继承和对象存储。

ECSC++EnTTStatic Polymorphism

约 7 分钟Read article

Jan 19, 2025ECS

EnTT: 图 Graph

记录 EnTT 图结构、Graphviz DOT 输出、flow builder、资源调度和执行图相关工具。

ECSC++EnTTGraph

约 5 分钟Read article

Jan 18, 2025ECS

EnTT: 多线程 Multithreading

整理 EnTT 多线程访问的安全边界、类型索引安全和 const registry 的延迟初始化问题。

ECSC++EnTTMultithreading

约 2 分钟Read article

Jan 15, 2025ECS

EnTT: 视图和组 views and groups

整理 EnTT 视图、运行时视图、分组、迭代顺序和视图操作限制。

ECSC++EnTTViewsGroups

约 6 分钟Read article

Jan 14, 2025ECS

EnTT: 运行时 runtime

记录 EnTT 在运行时处理组件类型、存储、命名存储、克隆和视图支持的方式。

ECSC++EnTTRuntime

约 2 分钟Read article

Jan 12, 2025ECS

EnTT: 存储 Storage

整理 EnTT storage 的组件特征、空类型优化、void storage、实体存储和指针稳定性。

ECSC++EnTTStorage

约 4 分钟Read article

Jan 11, 2025SYSTEMS

C++ Template: 返回值推导 Return Type

整理 C++ 模板函数返回值推导、decltype、std::decay 和 std::common_type 的基本用法。

C++TemplatesReturn Type DeductionType Traits

约 3 分钟Read article

Jan 9, 2025ECS

EnTT: 注册表 registry

整理 EnTT registry 的实体创建销毁、组件添加更新查询删除和访问接口。

ECSC++EnTTRegistry

约 2 分钟Read article

Jan 9, 2025ECS

EnTT: 观察变化 Observe Changes

记录 EnTT registry 中监听组件变化、实体生命周期事件和断开监听器的方式。

ECSC++EnTTSignals

约 2 分钟Read article

Jan 9, 2025ECS

EnTT: 响应式存储 Reactive Storage

整理 EnTT reactive storage 的创建、观察、组合访问和事件断开方式。

ECSC++EnTTReactive Storage

约 3 分钟Read article

Jan 9, 2025ECS

EnTT: 排序

记录 EnTT 组件池排序、实体顺序排序和存储顺序同步的基本接口。

ECSC++EnTTSorting

约 1 分钟Read article

Jan 9, 2025ECS

EnTT: Helper

整理 EnTT helper 中空实体、墓碑、依赖、连接助手、handle、organizer、上下文和快照工具。

ECSC++EnTTHelper

约 6 分钟Read article

Jan 8, 2025ECS

EnTT: 实体和组件的存储

梳理 EnTT 中实体、组件池、稀疏集、墓碑和标识符回收之间的存储关系。

ECSC++EnTTStorage

约 1 分钟Read article

Jan 4, 2025ECS

EnTT: 协作调度 Cooperative Scheduler

记录 EnTT 协作式调度器中的 process、scheduler、then 链式调度与更新流程。

ECSC++EnTTScheduler

约 1 分钟Read article

Jan 1, 2025ECS

EnTT: Event System 事件系统

整理 EnTT 的 signal、dispatcher 和 emitter 三类事件工具及其基本使用方式。

ECSC++EnTTEvent System

约 2 分钟Read article

Dec 11, 2024ECS

ECS: 大矩阵模型 The Big Matrix Model

介绍 ECS 的大矩阵模型，并讨论分页、指针稳定性、最短集和 fast forward 迭代优化。

ECSC++StorageBig Matrix Model

约 5 分钟Read article

Dec 11, 2024ECS

ECS: 稀疏集和指针稳定性 sparse sets and pointer stability

整理稀疏集如何通过分页存储、墓碑实体和墓碑版本号维持组件指针稳定性。

ECSC++Sparse SetPointer Stability

约 7 分钟Read article

Dec 11, 2024ECS

ECS: 指针稳定性，墓碑和标识符

整理空实体、墓碑版本与稀疏数组版本信息如何共同降低指针稳定性的迭代和查找成本。

ECSC++Pointer StabilityTombstoneIdentifier

约 8 分钟Read article

Dec 10, 2024ECS

ECS: 混合存储 Hybrid Storage

比较 ECS 中的独立池、表格存储和 EnTT 分组模型，梳理混合存储带来的收益与隐藏复杂度。

ECSC++StorageEnTT

约 6 分钟Read article

Dec 9, 2024ECS

ECS: 实体 id 和二进制边界

整理 EnTT 类型标识符从运行时顺序生成到编译时哈希的演进，以及跨动态库 ABI 边界时的稳定性问题。

ECSC++ABI

约 8 分钟Read article

Dec 9, 2024ECS

ECS: EnTT 和稀疏集

记录 EnTT 在稀疏集上的内存分页、空实体查找优化，以及反向迭代策略。

ECSC++EnTTSparse Set

约 4 分钟Read article

Dec 6, 2024ECS

ECS: 嵌套组和完美 SoA

整理 ECS 分组的本质、嵌套分组的维护顺序，以及 perfect SoA 布局背后的代价。

ECSC++GroupsSoA

约 7 分钟Read article

Dec 6, 2024ECS

ECS: 共享数据

整理 ECS 中共享数据的常见模型，包括 flyweight、chunk、层级、主从、ownerless、copy-on-write 与 prototype。

ECSC++EnTT共享数据

约 18 分钟Read article

Dec 5, 2024ECS

ECS: 稀疏集和排序

整理稀疏集作为组件池时的排序问题，比较原地排序、排列向量和混合方法的实现取舍。

ECSC++Sparse SetSorting

约 8 分钟Read article

Dec 3, 2024ECS

ECS: 层级关系

整理 ECS 中父子层级关系的存储、遍历、排序与脏传播策略，并比较链表、局部排序和 archetype 方案。

ECSC++EnTT层级关系

约 15 分钟Read article

Dec 1, 2024ECS

ECS: 组 Group

整理 ECS 稀疏集组件池中的 Group 机制，以及 EnTT 中 Full-Owning、Partial-Owning、Non-Owning 三类分组。

ECSC++Sparse SetEnTT

约 9 分钟Read article

Dec 1, 2024ECS

ECS: 标识符回收

整理 ECS 中实体标识符复用、隐式链表空洞回收，以及版本号校验失效标识符的基本思路。

ECSC++Sparse SetEntity Identifier

约 4 分钟Read article

Nov 24, 2024ECS

ECS: 设计模式

从 OOP 与面向数据的差异出发，整理 ECS 中实体、组件和系统的基本设计动机。

ECSC++Data-Oriented Design

约 4 分钟Read article

Nov 24, 2024ECS

ECS: 实体拥有哪些组件

整理 ECS 中判断实体组件集合的两种常见实现：Archetypes 和 Sparse Sets，并延伸到实体归属与组件归属。

ECSC++Sparse SetArchetype

约 12 分钟Read article

Sep 3, 2024SIMULATION

弹簧系统 Spring System

从单弹簧到多弹簧系统推导广义力、质量矩阵、刚度矩阵和反向欧拉积分。

SimulationVariational MechanicsSpring SystemImplicit Integration

约 19 分钟Read article

Sep 3, 2024MACHINE LEARNING

混合模型和期望最大化 Mixture Models and the Expectation-Maximization Algorithm

解释混合模型、高斯混合模型与 EM 算法的 E 步骤和 M 步骤。

Machine LearningUnsupervised LearningMixture ModelsGMMEM Algorithm

约 9 分钟Read article

Sep 1, 2024SIMULATION

变分力学 Variational Mechanics

从广义坐标、拉格朗日量和最小作用量原理推导欧拉-拉格朗日方程。

SimulationVariational MechanicsLagrangian MechanicsEuler-Lagrange

约 12 分钟Read article

Aug 31, 2024MACHINE LEARNING

无监督层次聚类: 树状图 Unsupervised Hierarchical Clustering: Dendrogram

介绍凝聚层次聚类、分裂层次聚类、树状图以及常见距离度量。

Machine LearningUnsupervised LearningHierarchical ClusteringDendrogramDistance Metrics

约 5 分钟Read article

Aug 27, 2024MACHINE LEARNING

k-均值聚类 k-Means Clustering

从 Voronoi 单元、簇内平方误差和 WCSS 理解 k-Means 聚类算法与收敛判定。

Machine LearningUnsupervised LearningClusteringk-MeansWCSS

约 9 分钟Read article

Aug 25, 2024SIMULATION

应力张量 Stress Tensor

整理 Dirichlet、StVK、ARAP 和 Neo-Hookean 能量对应的应力张量。

SimulationDeformationStress TensorElasticity

约 8 分钟Read article

Aug 25, 2024MACHINE LEARNING

数据预处理与机器学习范式 Data Preprocessing and Machine Learning Paradigm

梳理特征工程、特征提取以及监督学习和无监督学习的基本范式。

Machine LearningData PreprocessingFeature EngineeringSupervised LearningUnsupervised Learning

约 7 分钟Read article

Aug 21, 2024MACHINE LEARNING

模型选择 Model Selection

整理交叉验证、最大似然估计、AIC 与 BIC 等模型选择方法。

Machine LearningModel SelectionCross ValidationInformation CriteriaMLE

约 10 分钟Read article

Aug 18, 2024MACHINE LEARNING

回归和线性系统 Regression and linear system

从过定系统、欠定系统和范数约束理解线性系统中的回归方法。

Machine LearningRegressionLinear SystemsLASSORidge Regression

约 7 分钟Read article

Aug 17, 2024SIMULATION

使用张量方法计算力 Computing Forces the Tensor Way

用张量链式法则推导变形梯度对顶点位置的导数以及力的计算。

SimulationDeformationTensor CalculusForces

约 22 分钟Read article

Aug 16, 2024SIMULATION

力和能量 Force and Energy

从势能梯度、变形梯度和常见弹性能量模型理解力与能量的关系。

SimulationDeformationElasticityEnergy Models

约 4 分钟Read article

Aug 16, 2024SIMULATION

仅包含旋转的 SVD Rotation-Variant SVD

用 SVD 和反射矩阵构造仅包含旋转的极分解。

SimulationDeformationSVDPolar Decomposition

约 4 分钟Read article

Aug 15, 2024MACHINE LEARNING

非线性回归和梯度下降 Nonlinear Regression and Gradient Descent

整理非线性回归的误差最小化问题，并通过二次函数例子推导梯度下降与步长选择。

Machine LearningNonlinear RegressionGradient DescentOptimizationAlternating Descent

约 9 分钟Read article

Aug 13, 2024MACHINE LEARNING

回归和拟合 Regression and Fitting

从优化问题的角度理解机器学习、曲线拟合、损失函数与正则化之间的关系。

Machine LearningRegressionCurve FittingOptimizationRegularization

约 4 分钟Read article

Aug 13, 2024MACHINE LEARNING

曲线拟合 Curve Fitting

介绍回归函数、曲线拟合与常见误差指标，包括最大误差、平均绝对误差和最小二乘误差。

Machine LearningRegressionCurve FittingError MetricsNorms

约 3 分钟Read article

Aug 13, 2024MACHINE LEARNING

Least Squares 最小二乘

从直线拟合推导最小二乘正规方程，并讨论指数拟合的线性化思路。

Machine LearningRegressionLeast SquaresLinearizationOptimization

约 7 分钟Read article

Aug 12, 2024SIMULATION

变形梯度 Deformation Gradient

推导二维三角形从重心坐标到世界坐标的变形梯度计算。

SimulationDeformationContinuum MechanicsFEM

约 11 分钟Read article

Jul 19, 2024MATH

解析函数、Cauchy-Riemann 条件与 Laplace 方程

整理解析函数的定义、Cauchy-Riemann 条件，以及解析函数实部和虚部与 Laplace 方程的关系。

MathComplex AnalysisAnalytic FunctionsCauchy-Riemann ConditionsLaplace Equation

约 7 分钟Read article

Jul 19, 2024MATH

复平面上的积分

从复变函数路径积分出发，记录 Cauchy-Goursat theorem、路径无关性和复变函数积分基本定理。

MathComplex Analysis

约 4 分钟Read article

Jul 19, 2024MATH

奇点、Laurent Series、Residue 与 Cauchy Integral Formula

记录奇点、Laurent series、Residue 与 Cauchy Integral Formula 的基本形式和推导。

MathComplex Analysis

约 5 分钟Read article

Jul 17, 2024MATH

复对数与复数幂

整理复对数函数的多值性，并用复对数公式研究复数的有理幂。

MathComplex AnalysisLogarithmRational Powers

约 4 分钟Read article

Jul 16, 2024MATH

复数、欧拉公式与复变函数入门

整理复数的笛卡尔坐标与极坐标表示、欧拉公式推导，以及复变函数与泰勒级数收敛的入门内容。

MathComplex Analysis

约 8 分钟Read article