An introduction to Quaternions Application 四元数应用简介

An introduction to Quaternions Application 四元数应用简介

四元数是由爱尔兰数学家 哈密顿 提出定义的 超复数，其有 一个实数部 和 三个虚数部 组成，它的提出本意为将 二维复平面的复数拓展到 三维空间 中

四元数其实并不难处理，可以把它们想象成 角度/轴 的 pair (但和 轴角 表示并不相同)，四元数的主要优势在于它们 插值 效果很好

四元数表示一个 旋转 rotation，而不是一个 方向 orientation，区别在于

• 旋转 rotation 描述如果将一个 基 移动到另一个 基
• 而 方向 orientation 本身就是一个 基

定义

四元数 $q$ 是

分别为

• 元组表示 $(q_x,q_y,q_z,q_w)$
• 复数表示 $w + x \ \mathbf{i} + y \ \mathbf{j} + z \ \mathbf{k}$
  其中 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 为虚数单位
• 标量，向量表示 $(s, \vec{v})$
  其中 $s$ 为 标量 $w$，而 $\vec{v}$ 是 向量 $(x,y,z)$
  • 四元数的 向量部分 与 转轴 有关，标量部分 与 旋转角度 有关，但它们都不是直接相等关系，也就是说，不可以与 轴-角 表示搞混

它可以实现为

struct Quaternion {
    float x; // vector part
    float y; // vector part
    float z; // vector part
    float w; // scalar part
}

一个有着四个分量的元组，其中的 标量 分量 $w$ 对于将 四元数 转换为 矩阵 非常重要

在图形学中，我们总是使用 单位四元数 (长度为 $1$ 的 四元数)，随着 浮点误差值 的累积，可能需要周期化的重新对四元数执行 归一化

恒等四元数 Identity Quaternion

四元数具有 乘法恒等式，这个特殊恒等四元数表示 无旋转 (零旋转)，其标量分量为 1，向量分量为 0

Quaternion Identity() {
    //                 x, y, z, w
    return Quaternion (0, 0, 0, 1)
}

纯四元数 Pure Quaternion

任何向量都可以变成四元数，只需将标量部分留为零，并将 归一化 的向量放入四元数的向量部分即可，得到的四元数是“纯”四元数，任何标量值为零的四元数都称为“纯”四元数，表示一个 三维向量，不直接对应有效旋转

Quaternion Pure(Vector3 vec) {
    Vector3 normalized_vec = normalized(vec);
    return Quaternion(normalized_vec.x, normalized_vec.y, normalized_vec.z, 0);
}