奇点、Laurent Series、Residue 与 Cauchy Integral Formula

奇点 Singularity，洛朗级数 Laurent series 和 残数 Residue

复变函数 $f(z)$ 有时会存在一些不可解析点 $s_0$ 这些点被称为 奇点 Singularity，我们可以在这些奇点周围进行 洛朗级数 Laurent series 展开，洛朗级数和泰勒级数类似，但是它比泰勒级数多了所有的负次幂项

$$\begin{align*} f(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z - s_0)^n &\quad (1) \\ f(z) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z - s_0)^n &\quad (2) \end{align*}$$

• $(1)$ 是泰勒级数， $(2)$ 是洛朗级数

因为包含了负次幂的项，所以洛朗级数很有用，可以用于计算围绕奇点的闭合路径积分

残数 Residue

为什么说包含负次幂的项很有用呢？我们可以分析 $(z - s_0)^n$，我们可以沿着围绕 $s_0$ 的闭合曲线 $C$ 进行路径积分 (假设我们从 $C$ 上的点 $z_0$ 出发又回到 $z_0$ )

$$\oint_{C} (z - s_0)^n \ dz$$

此时结果会根据 $n$ 的值不同而有所不同

• 如果 $n \neq -1$ 即 $n = \cdots,-3,-2,-1,\phantom{-}0,\phantom{-}1,\phantom{-}2,\phantom{-}3,\cdots$ 由柯西-古萨定理可得 $$\oint_{C} (z - s_0)^n \ dz = \left. \frac{(z-s_0)^{n+1}}{n+1} \right|_{z_0}^{z_0} =0$$
• 如果 $n = -1$ 由于复对数函数的性质，我们实际上没有回到 $z_0$，而是走到了 $z_1$ $$\begin{align*} \oint_{C} (z - s_0)^n \ dz &= \left. \log{(z - s_0)} \right|_{z_1}^{z_0} = 2\pi i \\ \log(z) &= \log(|z|) + i\underbrace{\left(\theta + 2\pi n \right)}_v \end{align*}$$

要对此进行证明也很容易

$$\begin{align*} z - s_0 = Re^i\theta \Rightarrow dz &= iRe^i\theta \ d\theta \\ \int_{\theta = 0}^{2\pi} (z - s_0)^{-1} \ dz &= \oint_{C} \frac{iRe^{i\theta}}{Re^{i\theta}} \ d\theta \\ &= \int_{\theta = 0}^{2\pi} i \ d\theta \\ &= 2\pi i \end{align*}$$

柯西积分公式 Cauchy Integral Formula

柯西积分公式描述了复变函数在一个简单闭合曲线内的值与沿该曲线积分之间的关系，只要知道复变函数在曲线上的积分，就可以知道复变函数在曲线围成的区域内任意一点的值 具体来说，如果 $f(z)$ 在闭合曲线 $C$ 上以及其内部是解析的，并且点 $a$ 是曲线围成区域内的一点，则可以定义 $\dfrac{f(z)}{z-a}$ ，如此一来 $a$ 就是 $\dfrac{f(z)}{z-a}$ 的奇异点，有了这些信息，柯西积分公式是

$$\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a} \ dz = 2\pi i \ f(a)$$

如此一来，我们就可以间接的求出 $f(a)$ 的值，从而规避可能存在问题的 $f(a)$ 我们可以对柯西积分公式进行不严谨的证明

$$\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a} \ dz = \oint_{C} \frac{f(a)}{z-a} \ dz + \oint_{C} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \ dz$$

我们首先来看 $\oint_{C} \frac{f(a)}{z-a} \ dz$ 这一部分，根据柯西-古萨定理，我们有

$$\oint_{C} \frac{f(a)}{z-a} \ dz = f(a) \oint_{C} \frac{1}{z-a} \ dz = f(a) \ 2\pi i$$

我们再来看 $\oint_{C} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \ dz$
由于 $f(z)$ 在 $a$ 周围是解析的，所以我们可以找到一个 $\epsilon > 0$ 使得 $|f(z) - f(a)| < \epsilon$ 而不管 $\epsilon$ 多么的小（但是大于零）都可以成立，再一次根据柯西-古萨定理我们有

$$\oint_{C} \frac{\epsilon}{z-a} \ dz = \epsilon \ 2\pi i$$

因为我们定义 $|f(z) - f(a)| < \epsilon$，所以显然

$$\oint_{C} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \leq \oint_{C} \frac{\epsilon}{z-a} \ dz = \epsilon \ 2\pi i$$

我们可以使得 $\epsilon \to 0$ 那么 $\oint_{C} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \to 0$ 所以

$$\begin{align*} \oint_{C} \frac{f(z)}{z-a} \ dz &= \oint_{C} \frac{f(a)}{z-a} \ dz + \oint_{C} \frac{f(z) - f(a)}{z-a} \ dz \\ &= f(a) \ 2\pi i + 0 \\ &= f(a) \ 2\pi i \end{align*}$$