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力和能量 Force and Energy

从势能梯度、变形梯度和常见弹性能量模型理解力与能量的关系。

Aug 16, 2024约 4 分钟Simulationysysimon
SimulationDeformationElasticityEnergy Models

在物理学中，力与势能密切相关，具体来说，力的作用是试图让系统达到一个势能最小化的状态，对于一个质点，如果势能函数为 Ψ(x)\Psi(\mathbf{x})，那么质点在 x\mathbf{x} 处受到的力 f\mathbf{f} 可以表示为

f=−∇Ψ(x)\mathbf{f} = -\nabla \Psi(\mathbf{x})

也就是说，力总是指向势能减小的最快方向 (梯度下降)
在连续介质力学中，势能 Ψ\Psi 是变形势能，它是材料在变形状态下存储的能量，并且它的参数是 F(x)\mathbf{F(\mathbf{x})}，F\mathbf{F} 是变形梯度，它是位移向量 x\mathbf{x} 的函数，最终的势能函数是 Ψ(F(x))\Psi(\mathbf{F(\mathbf{x})}) 描述了材料在不同形变状态下的弹性能量，此时计算力需要用链式法则

f=−∇Ψ(F(x))=∂∂xΨ(F(x))=∂Ψ∂F∂F∂x\mathbf{f} = -\nabla\Psi(\mathbf{F(\mathbf{x})}) = \frac{\partial}{\partial \mathbf{x}} \Psi(\mathbf{F(\mathbf{x})}) = \frac{\partial\Psi}{\partial \mathbf{F}}\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}

测量变形 Measuring Deformation

我们首先从测量变形开始，我们有变换之前的坐标 x‾\mathbf{\overline{x}} 和变换之后的坐标 x\mathbf{x}，变换本身可以表示为一个仿射变换

x=Fx‾+t\mathbf{x} = \mathbf{F}\mathbf{\overline{x}} + \mathbf{t}

仿射变换携带以下类型的变换

  • 旋转
  • 缩放
  • 反射
  • 位移

要想衡量物体的形变程度，我们需要从仿射变换中去除大部分信息，具体来说是 旋转，反射，位移

去除位移

要想去除位移，我们求 x\mathbf{x} 对 x‾\mathbf{\overline{x}} 的偏导数

∂x∂x‾=∂∂x‾(Fx‾+t)=F\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{\overline{x}}} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{\overline{x}}} (\mathbf{F}\mathbf{\overline{x}} + \mathbf{t}) = \mathbf{F}

F\mathbf{F} 被称为 变形梯度 deformation gradient，它不再包含位移，但仍然包含旋转，缩放，反射等信息，我们可以用它来进一步想办法衡量形变

去除旋转，构造弹性势能函数

我想办法进一步从 F\mathbf{F} 中去除旋转等干扰信息，并根据最终矩阵计算变形程度，将矩阵变为 “标量的变形程度” (衡量弹性势能) 的一个简单做法是计算矩阵的 Frobenius范数平方 squared Frobenius norm

∥A∥F=∑ij∣aij∣2∥A∥F2=∑ij∣aij∣2\begin{align*} \| \mathbf{A} \|_F &= \sqrt{\sum_{ij}|a_{ij}|^2} \\ \| \mathbf{A} \|_F^2 &= \sum_{ij}|a_{ij}|^2 \end{align*}

St. Venant Kirchhoff StVK

若 F\mathbf{F} 是纯旋转矩阵，那么它应该是正交变换，有 FTF=I\mathbf{F}^T\mathbf{F} = \mathbf{I}，也就是说 F−1=FT\mathbf{F}^{-1}=\mathbf{F}^T，所以可以借助这个性质来构造一个衡量形变的函数

ΨStVK=12∥FTF−I∥F2\Psi_{\text{StVK}} = \frac{1}{2} \| \mathbf{F}^T\mathbf{F} - \mathbf{I} \|_F^2

这种方法的缺点是造成极其不线性的结果，因为 FTF\mathbf{F}^T\mathbf{F} 本身变为二次，而 ℓF\ell_F-范数 的平方本身又施加了一个平方，所以得到四次的非线性结果

As-Rigid-As-Possible ARAP

我们可以直接对变形梯度矩阵 F\mathbf{F} 进行 极分解 polar decomposition 将其分解为旋转矩阵和缩放矩阵

F=RS\mathbf{F} = \mathbf{R}\mathbf{S}

如此一来我们可以构造 ARAP 能量

ΨARAP=∥F−R∥F2\Psi_{\text{ARAP}} = \|\mathbf{F} - \mathbf{R} \|_F^2

Dirichlet

Dirichlet 能量实际上不去除旋转，它只是变形梯度的Frobenius范数平方

ΨDirichlet=∥F∥F2\Psi_{\text{Dirichlet}} = \|\mathbf{F} \|_F^2

也就是说，即使变形只是一个刚体旋转，Dirichlet 能量也会产生非零值。这在许多情况下并不是我们期望的，因为理想情况下，我们希望能量只与拉伸或剪切等实际变形相关

Neo-Hookean

Neo-Hookean 能量只是测量标准矩阵

ΨNeo-Hookean=∥F∥F2−3\Psi_{\text{Neo-Hookean}} = \|\mathbf{F}\|_F^2 - 3
  • 这是因为 ∥I∥F2=3\|\mathbf{I}\|_F^2 = 3

注意这还不是完整的 Neo-Hookean 模型