RBF 插值的基本形式

RBF 是 Radial Basis Function 的缩写，也就是 径向基函数。它的核心想法是：每一个样本点都在输入空间里生成一个以自己为中心的 影响场，新的输入点会同时受到所有样本中心的影响，最后把这些影响叠加起来得到输出。

这里的 “径向” 指的是函数只关心距离，而不直接关心方向。若样本中心是 $\mathbf{x}_i$，当前输入是 $\mathbf{x}$，那么第 $i$ 个样本中心对当前输入的影响通常写成

也就是说，RBF 核函数真正接收到的是一个标量距离。

标量输出的基本形式

假设有 $N$ 个样本

其中 $\mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^m$ 是输入，$y_i \in \mathbb{R}$ 是标量输出。RBF 插值函数写成

这里的 $w_i$ 不是普通 blend weight，而是要求解出来的系数。它们的作用不是简单地表达 “第 $i$ 个样本占多少比例”，而是让整个函数满足插值条件

所以 RBF 的逻辑可以先粗略理解成：

样本中心产生影响场
当前输入采样所有影响场
把所有影响场按系数叠加
要求叠加后的函数刚好经过训练样本

三个样本的展开

为了看清求和符号的来源，先考虑 3 个样本

此时函数就是

为了让它经过三个样本点，需要满足

把 $\mathbf{x}_1$ 代入函数，有

把 $\mathbf{x}_2$ 代入函数，有

把 $\mathbf{x}_3$ 代入函数，有

这三条式子合起来就是一个线性方程组。

矩阵形式

把上面的三条约束写成矩阵，就得到

也就是

其中

一般情况下，如果有 $N$ 个样本，那么

只要 $\mathbf{K}$ 可逆，就可以解出

数值实现中通常不会显式求逆，而是直接解线性系统。

得到 $\mathbf{w}$ 后，运行时对新输入 $\mathbf{x}$ 构造

于是

为什么要构造两两距离矩阵

$\mathbf{K}$ 不是普通的数据矩阵，而是一个 相互影响矩阵。它的第 $j$ 行第 $i$ 列表示：

第 $i$ 个样本中心产生的影响场，在第 $j$ 个样本点位置上的取值。

也就是说，第 $i$ 个基函数是

为了检查函数在样本点 $\mathbf{x}_j$ 上是否命中目标值，就必须把所有基函数都拿到 $\mathbf{x}_j$ 上评估：

所以 $\mathbf{K}$ 里自然会出现所有样本点之间的两两距离。它也常被称为 kernel matrix 或 Gram matrix。

为什么 RBF 可以产生平滑插值

如果核函数 $\phi(r)$ 本身是平滑函数，那么

作为空间中的影响场通常也是平滑变化的。RBF 插值函数又只是这些影响场的线性组合：

因此最终得到的 $f(\mathbf{x})$ 也会随输入平滑变化。

需要注意的是，平滑 不等于 稳定外推。exact RBF 确实会严格命中样本点，但如果样本分布不好、核函数选择不合适，或者 $\mathbf{K}$ 条件数很差，远离样本区域时仍然可能出现 overshoot 或不符合直觉的趋势。

可以插值哪些数据

RBF 的输入 $\mathbf{x}$ 可以是任何能转成向量的特征，例如：

• 标量参数
• 2D / 3D / nD 位置
• 一组控制参数
• 权重向量
• PCA coefficients
• correction vector
• 局部位移或缩放向量
• 约束或代价函数的权重

关键是：输入空间中必须能定义距离 $\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_i\|$，输出也必须能用普通向量的线性组合来表达。旋转也可以参与 RBF，但一般不直接插值 Euler、旋转矩阵或未经处理的 quaternion，而是先转到 rotation vector 等更接近欧氏向量空间的表示。