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模长，归一化，点乘

整理四元数的 dot product、length 和 normalization 公式。

May 20, 2025约 2 分钟Quaternionsysysimon
Computer GraphicsQuaternionRotationNormalization

模长，归一化，点乘

点乘

点乘可以计算两个四元数之间的夹角，但是夹角对于四元数来说不像向量那么有用

cos⁡(θ)=q1⋅q2∥q1∥∥q2∥\cos(\theta) = \frac{q_1 \cdot q_2}{\|q_1\| \|q_2\|}

如果四元数是单位四元数，那么可以化简为

cos⁡(θ)=q1⋅q2\cos(\theta) = q_1 \cdot q_2

模长

四元数的模长并不那么有用，它一般只是用来检测四元数是否还是单位四元数，以便执行归一化

float LengthSq(Quaternion quat) {
    return quat.x * quat.x + quat.y * quat.y + quat.z * quat.z + quat.w * quat.w;
}
 
float Length(Quaternion quat) {
    float lengthSq = quat.x * quat.x + quat.y * quat.y + quat.z * quat.z + quat.w * quat.w;
    return sqrt(lengthSq);
}

归一化

要标准化，只需将每个分量除以四元数的长度即可，我们用四元数表示纯旋转时总是使用单位四元数，所以归一化很重要

float Normalize(Quaternion quat) {
    float lengthSq = quat.x * quat.x + quat.y * quat.y + quat.z * quat.z + quat.w * quat.w;
    assert(lengthAq != 0);
    float invLen = 1.0f / sqrt(lengthSq);
 
    return Quaternion(
        quat.x * invLen,
        quat.y * invLen,
        quat.z * invLen,
        quat.w * intLen
    )
}