复对数与复数幂

整理复对数函数的多值性，并用复对数公式研究复数的有理幂。

复对数函数

假设有复数

z = x + iy = Re^{i\theta}

我们可以定义复数对数函数

\log(z)

这个复数对数函数的结果也是一个复数

\begin{aligned} w &= \log(z) \\ w &= u + iv \end{aligned}

由于 $e$ 和 $\log$ 是反函数关系，所以我们可以在 $w = \log(z)$ 的两边取 $e$

\begin{align*} e^w &= e^{\log(z)} \\ z &= e^w \end{align*}

根据欧拉公式，有

\begin{align*} z=e^w=e^{u+iv}&=e^ue^{iv} \\ &=e^u[\cos(v)+i\sin(v)] \end{align*}

现在我们有

\begin{align*} z &= Re^{i\theta} \\ z &= e^ue^{iv} \end{align*}

根据这两个式子，显然可以得出

\begin{align*} R &= e^u \\ \theta &= v \end{align*}

在等式两边取 $\log$ ，得到 $u = \log(R)$
整理所有式子

\begin{aligned} z &= x + iy = Re^{i\theta} \\ w &= u + iv \end{aligned}

\begin{align*} w &= \log(R) + i\theta \\ w &= \log(|z|) + i\theta \end{align*}

可以看出，从 $z$ 得到 $w$ 时， $w$ 的实部是 $z$ 的模长，而 $w$ 的虚部则是 $z$ 的角度，也就是说，不止一个 $z$ 映射到相同的 $w$ ，任何旋转 360° 的角度的复数 $z$ 都将在复对数函数下映射到同一个 $w$

w = \log(|z|) + i(\theta + 2\pi n)

\log(z) = \log(|z|) + i(\theta + 2\pi n)

也就是说有无穷多个复数映射到 $z$ 的对数 $\log(z)$

通过对复数对数函数的研究，我们知道了，对于复数

z = x + iy = Re^{i\theta}

它的对数是

\begin{align*} \log(z) &= \log(|z|) + i(\theta + 2\pi n) \\ &= \log(R) + i(\theta + 2\pi n) \end{align*}

我们现在想研究复数的任意幂 $z^a$ , 我们可以借助复数的对数性质来研究

\begin{align*} z = e^{\log(z)} \Rightarrow z^a &= (e^{\log(z)})^a \\ &= e^{a\log(z)} \end{align*}

我们可以代入之前得到的复数对数公式

\begin{align*} z^a = e^{a\log(z)} &= e^{a\log(R) + ai(\theta + 2\pi n)} \\ &= e^{a\log(R)}e^{ai(\theta + 2\pi n)} \end{align*}

我们可以从几个例子来应用这个公式，例如对于复数

\begin{align*} z &= 1 + 0i \\ &= 1 \\ &R = 1, \theta = 0 \end{align*}

我们求它的 $\sqrt[3]{1}$ ，即 $1^\frac{1}{3}$ ，在这种情况下 $a = \frac{1}{3}$

z^\frac{1}{3} = e^{\frac{1}{3}\log(1)}e^{\frac{1}{3}i(0 + 2\pi n)}

由于 $\log(1) = 0$ 所以 $e^{\frac{1}{3} \cdot 0} = e^0 = 1$ ，化简得到

z^\frac{1}{3} = e^{\frac{1}{3}\cdot 2\pi n \ i}

可以发现 $\sqrt[3]{1}$ 不止一个根，当 $n = 0,1,2$ 时有三个不同的根，刚好旋转了完整的一圈，与 $n = 0$ 时重合，并且以此类推将会和前三个独立根发生重合，所以我们说 $\sqrt[3]{1}$ 有三个根