复数、欧拉公式与复变函数入门

复数

定义 - 笛卡尔坐标系

复数是由实数和虚数组成的数

$$z = x + iy$$

其中 $i$ 是虚数单位，有

$$\begin{align*} i^2 &= -1 \\ i &= \sqrt{-1} \end{align*}$$

复数的四则运算法则

若有

$$\begin{align*} z_1 &= x_1 + iy_1 \\ z_2 &= x_2 + iy_2 \end{align*}$$

• 加减法： $z_1 \pm z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$
• 乘法： $z_1z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$
• 除法: 在进行除法时，我们可以分子分母同乘除数的共轭来化简
  $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} \cdot \dfrac{x_2 - iy_2}{x_2 - iy_2} = \dfrac{z_1 \overline{z_2}}{x_2^2+y_2^2} = \dfrac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2} \\$ 其中 $|z|^2 = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是复数 $z$ 的模长
  而 $\overline{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭，即

$$\begin{align*} z &= x + iy \\ \overline{z} &= x - iy \end{align*}$$

使用极坐标表示复数

复数可以用极坐标表示，极坐标形式通常比直角坐标（笛卡尔坐标）更直观地描述复数的幅值和相位。
一个复数 $z = x + yi$ 在极坐标形式下表示为：

$$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$

这里：

• $r$ 是复数的模（幅值），计算公式为 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$
• $\theta$ 是复数的幅角（相位），计算公式为 $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)$

我们也可以用欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 来表示，得到：

$$z = r e^{i\theta}$$

极坐标下的复数四则运算

若有

$$\begin{align*} z_1 &= x_1 + iy_1 = R_1e^{i\theta_1} \\ z_2 &= x_2 + iy_2 = R_2e^{i\theta_2} \end{align*}$$

在极坐标下，复数的四则运算可以表示为

• 加减法：没啥好说的
• 乘法： $z_1z_2 = R_1e^{i\theta_1}R_2e^{i\theta_2} = R_1R_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

当用复指数形式表示，复数乘法实际上相当于它们各自的模长相乘，角度相加

• 除法： $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{R_1}{R_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

欧拉公式

推导

我们知道 $e^x$ 的泰勒展开是

$$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

我们又知道，复数可以表示为指数形式（在极坐标下）$z = x + iy = Re^{i\theta}$ 那么我们结合 $e^x$ 的泰勒展开，就可以写出 $e^{i\theta}$ 的泰勒展开

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots + \frac{(i\theta)^k}{k!} + \cdots$$

我们已经知道虚数 $i$ 有以下性质

$$\begin{align*} i^1 &= \phantom{-}i \\ i^2 &= -1 \\ i^3 &= -i \\ i^4 &= \phantom{-}1 \\ i^5 &= \phantom{-}i \\ &\vdots \end{align*}$$

所以对 $e^{i\theta}$ 的泰勒展开可以根据虚数 $i$ 的这个性质得到

$$\begin{align*} e^{i\theta} &= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4} {4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots + \frac{(i\theta)^k}{k!} + \cdots \\ &= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} + \cdots \end{align*}$$

我们可以将带 $i$ 的项和不带的项分开整理，得到

$$\begin{align*} e^{i\theta} &= 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4} {4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \cdots + \frac{(i\theta)^k}{k!} + \cdots \\ &= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} + \cdots \\ &=\underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots \right)}_{\cos(\theta)} + i \underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right)}_{ i \sin(\theta)} \end{align*}$$

所有不带 $i$ 的项组合起来是 $\cos(\theta)$ 的泰勒展开，带 $i$ 的则是 $\sin(\theta)$，我们最终得到欧拉公式

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$$

德摩根公式（De Moivre's formula）

德摩根公式是描述复数的极形式的一个重要公式，这个公式以法国数学家亚伯拉罕·德·摩根（Abraham de Moivre）的名字命名，用于将复数的幂运算与三角函数联系起来。 公式的形式是：

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$

其中：

• $i$ 是虚数单位，$i^2 = -1$
• $\theta$ 是复数的幅角（角度）
• $n$ 是整数

这个公式在复数的极形式表示中非常有用，因为它简化了复数的幂运算。例如，若要计算一个复数 $z = re^{i\theta}$ 的 $n$ 次幂，可以利用该公式如下：

$$z^n = (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

这样，复数的乘法和幂运算就可以转换成实数的幂运算和角度的简单相乘，极大地简化了计算

复变函数

复数出现在很多地方，例如微分方程

$$z = x + iy = R(\cos(\theta)+i\sin(\theta))=Re^{i\theta}$$

对于复变函数，我们关心它是否是 解析的 (Analytic)

一个函数是否是 解析函数 (Analytic Function) 取决于它的泰勒级数展开是否收敛

泰勒级数是一类特殊的幂级数，而幂级数是幂函数的线性组合，复变函数是指变量是复数的函数，所以复数幂函数是

$$f(z)=z^n=[R(\cos(\theta)+i\sin(\theta))]^n$$

其中

• $n$ 是整数，$z$ 是复变量

有了复幂函数，可以定义复数幂级数

$$\sum_{k=0}^{n} a_k z^k$$

其中

• $a_k$ 是第 $k$ 项的常数复数系数，$z$ 是复变量

有了复数幂级数，复数泰勒级数的定义是

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z - z_0)^k$$

它是特殊的幂级数，它表示在函数在点 $z_0$ 附近的幂级数展开，并且展开的幂级数有特殊的系数 $\dfrac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$ 即函数在该点的导数除以 $k!$
我们可以定义 $a_k = \dfrac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$，那么泰勒级数可以写成

$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k (z - z_0)^k$$

这种形式更接近幂级数
定义了泰勒级数，我们可以关心它是否收敛，在什么范围内收敛
若

$$L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|$$

存在，则泰勒级数在范围 $|z - z_0|< \frac{1}{L}$ 内收敛，这是一个以展开点 $z_0$ 为中心，半径为 $\frac{1}{L}$ 的圆盘

我们来看一个例子，假设有函数 $f(z) = e^z$，它的各阶导数永远等于自身 $f^{(k)} = e^z$，所以它的泰勒展开系数 $a_k$ 只剩下 $\dfrac{1}{k!}$

$$e^z = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!} \quad \left( a_k = \frac{1}{k!} \right)$$

所以我们可以判断它的泰勒级数是否收敛，它的 $a_{k+1}$ 是 $\dfrac{1}{(k+1)!}$，$a_k$ 是 $\dfrac{1}{k!}$，代入收敛检测公式

$$\begin{align*} L &= \lim_{k \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} \right| \\ &= \lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{(k+1)!} \cdot k! \right| \end{align*}$$

根据阶乘定义，可只相除以后只剩下 $k + 1$

$$L = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{k+1} \right| = 0$$

而收敛半径 $\dfrac{1}{L}$ 在 $L = 0$ 的情况下，趋向于无穷，这说明 $f(z) = e^z$ 在整个复平面上都收敛，换句话说，函数在整个复平面上都是解析的 (全纯的)，这是一个非常强的性质，意味着该函数没有任何奇点 (即没有任何点处其导数不连续或不定义)

如果一个函数的泰勒级数在整个复平面上都收敛，那么该函数在复平面上的每一点都是解析的，这样的函数称为 整函数( entire function)