复平面上的积分

复平面上的积分

给定一个复变函数

$$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$$

• 其中 $z = x + iy$

则从 $z_0$ 到 $z_1$ 的路径积分是

$$\oint_C f(z) \ dz = \oint_C (u+iv)(dx+idy) = \oint_C (udx -vdy) + i(udy + vdx)$$

柯西-古萨定理 Cauchy-Goursat

若复变函数 $f(z)$ 在单连通（没有孔洞）区域 $\mathcal{D} \subseteq C$ 内是解析的，如果 $C$ 是 $\mathcal{D}$ 内的一条闭合曲线（即其起点和终点相同），那么

$$\oint_C f(z) \ dz = 0$$

我们可以证明这个定理

$$\oint_C (udx -vdy) + i(udy + vdx) = \oint_C (udx -vdy) + i\oint_C (udy + vdx)$$

根据格林定理，向量场沿着路径的曲线积分等于向量场在曲面围成区域内的旋度积分

$$\oint_C (udx -vdy) + i\oint_C (udy + vdx) = \iint_{S} -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \ dxdy + i \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \ dxdy$$

因为函数在区域内的解析的，所以它在区域内满足柯西黎曼条件

$$\begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} &= \phantom{-}\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} &= -\frac{\partial u}{\partial y} \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} \oint_C f(z) \ dz &= \iint_{S} -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \ dxdy + i \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \ dxdy \\ &= 0 + i0 \\ &= 0 \end{align*}$$

柯西-古萨定理的重要推理就是复平面上两点之间的路径积分结果和选取的路径无关，我们可以将闭合路径 $C$ 分成两部分 $C_1$ 和 $C_2$

闭合路径 $C$ 可以认为是从 $z_0$ 到 $z_1$ 的 $C_1$ 和从 $z_1$ 到 $z_0$ 的 $C_2$ 构成的闭合回路，根据柯西-古萨定理，有

$$\begin{align*} \oint_C f(z) \ dz = 0 &\Rightarrow \oint_{C_1} f(z) \ dz + \oint_{-C_2} f(z) \ dz \\ &= \oint_{C_1} f(z) \ dz - \oint_{C_2} f(z) \ dz \\ &= 0 \end{align*}$$

我们得到

$$\begin{align*} \oint_{C_1} f(z) \ dz - \oint_{C_2} f(z) \ dz &= 0 \\ \oint_{C_1} f(z) \ dz &= \oint_{C_2} f(z) \ dz \end{align*}$$

复变函数积分基本定理

如果复变函数 $f$ 在区域 $D$ 内解析，并且 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，即 $F'(z) = f(z)$，那么对于 $D$ 内任意一条从点 $z_0$ 到点 $z_1$ 的路径 $C$，有：

$$\int_{C} f(z) \, dz = F(z_1) - F(z_0)$$